也论数学素养构建

作为学校教育实践者的一线教师也从自身鲜活的教育实践出发，提出在数学教学中要培养学生思维独创性、深刻性与灵活性，养成独立思考等习惯。［5］爱因斯坦在谈到学校人才培养目标时也曾经指出:“学生离开学校时是一个和谐的人，而不是一个专家……被放在首要位置的永远应该是独立思考和判断的综合能力的培养，而不是获取特定的知识。如果一个人掌握了他的学科的基本原理，并学会了如何独立地思考和工作，他将肯定会找到属于他的道路。”［6］

上述人才培养目标，为我们描绘出教育应该承担起的责任蓝图。作为学校核心学科的数学自然应该围绕这些宏观目标发挥育人功能，为数学素养的构建提供方向。例如，数学教育可以促使学生思维独创性和灵活性的发展，这就有助于在危机和冲突中寻找解决途径，从而个人更能享受人生。

在构建数学核心素养过程中，还需要关注人们的数学观。数学是什么? 这是一个有着丰富答案的问题，无法展开论述。美国数学家和数学哲学家M·克莱因指出，“数学本身就是一个充满活力的繁荣的文化分支。经过几千年的发展，数学已经成为一个宏大的思想体系，每个受过教育的人都应该熟悉其基本特征。”［7］尽管数学发生在人类的思想思维中，但人们也努力在数学和他能用感官感受的现实之间建立联系，也就是说，人们用“数学的眼睛”看现实。数学也可以应用在非数学领域，用于解决问题。进化论先驱C·达尔文曾经对自己在数学上没有足够造诣而深感遗憾，致使他无法理解和享受那些伟大的、引领人类发展的数学原理。［8］数学发展也证实了数学对其他领域发展的贡献。数学让人们获得一种深层次思考和理解现实的新的方法。

数学对人类的生活有重要意义。可惜人们对数学的认识往往是不完整的，有人认为数学是计算工具，用来计算长度与面积，或算出成本与利润; 有人认为数学是物理和生理宇宙中的创世语言; 有人则认为数学是很好的分析方法。［9］ 树立完整的数学观，对我们认识数学核心素养内涵显得尤为重要。数学素养应 该是人的一种思维习惯，能够主动、自然、娴熟地用数学进行交流、建立模型解决问题;能够启动智能计算的思维，拥有积极数学情感，做一个会表述、有思想的、和谐的人。也就是说数学素养至少包含着数学交流、数学建模、智能计算、数学情感等四个方面。下面我们将阐述这四个方面何以构成数学核心素养的主要成分。

数学核心素养成分构成模型

“核心素养是从‘学习结果界定未来人才形象’的类概念。”［10］尽管对核心 素养具体内涵的表述非常丰富，但它们应该围绕人才观、课程观、学科观等展开。如经济合作与发展组织(OECD)发起的国际学生评价项目(PISA)较早提出数学 素养概念，从数学教育角度刻画出未来公民的形象。它将数学素养界定为“一 种个人能力，包括能够识别并理解数学在世界中起的作用，做出有理有据的数学判断，作为一个积极、热心、反思的公民会使用数学并参与其中，以满足个人生活的需要。”［11］牛津学习中心曾经发布什么是数学素养、何时会拥有数学素养、数学素养发展面临怎样的挑战等。该中心提出，数学素养包括解决真实世界问题、推理和分析信息的能力; 是一种理解数学“语言”的能力。［12］数学素养是除语言素养外的第二个关键素养，对于学生通过理解专业术语而读懂问题尤为重要。关于数学素养内涵的研究，国内学者纷纷提出各自的观点。有的研究提出数学核心素养为学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，它基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能，反映数学本质与数学思想，是在数学学习过程中形成的。［13］也有研究认为，数学核心素养是数学情感态度价值观、数 学知识、数学能力的综合体现。［14］有研究强调学科核心素养是指学科的思维品质和关键能力，数学学科主要培养演绎和归纳的逻辑思维，培养相应的演绎和归纳的推理能力。［15］国外一些研究则关注数学素养的具体成分，提出数学核心素养具有情景性，具体包括数学思维能力、表征能力、符号和形式化能力、交流能力、建模能力、拟题与解题( 数学题处理) 能力等。［16］其他国际学者则更加重视对具体的数学素养成分的研究，其中出现频率较高的为数学问题提出、数学问题解决和数学交流。

综观国内外人才培养目标，对于信息交流素养、问题解决素养、创新实践素养等 特别关注。从数学学科角度看，数学交流、数学建模、数学智能 计算思维( computational thinking ( technology related) ) 、数学情感( mathematical disposition) 能刻画出满足培养目标的人才所拥有的素养。

我们提出这四个核心素养成分，不在于追求对数学素养认识的完整性，但是这四个核心素养成分体现了现代教育人才培养目标的需求，体现了数学的本质认识。另外我们提出数学核心素养是可测试和培养的，它应该是在相关数学内容的学习与探究过程中养成的。因此核心素养成分的培育离不开数学内容土壤。下面对这四个成分逐一进行分析，论证这个核心素养模型如何反映人才观和数学观。

数学核心素养成分

( 一) 数学交流

随着科学技术发展，数学广泛地渗透在社会的方方面面。作为未来公民的学生需要具备一定的数学交流素养。数学交流是学生学习数学的一种方式，同时也是应用数学的途径之一。学生在交流中学习数学语言，并运用数学语言中特定的符号、词汇、句法去交流，去认识世界，从而逐渐获得常识的积累。

美国 1989 年颁布的《美国学校数学课程和评价标准》较早提出数学交流标准，对学生交流素养做出相关界定: 通过交流组织和巩固他们的数学思维; 清楚连贯地与同伴、教师或其他人交流他们的数学思维; 分析和评价他人的数学思维和策略; 用数学语言精确地表达数学观点。［17］我国 2012 年颁布的《义务教育数学课程标准( 2011 年版) 》也突出了关于“数学交流能力”的目标。它明确将“学会与他人合作交流”作为数学课程总目标之一，要求学生通过经历与他人合作交流解决问题的过程，学会倾听和理解他人的思考方法和结论，清晰表达和解释自己的思考过程与结果，并尝试对别人的想法提出建议，对他人提出的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识。［18］